cos 的 n 次方在 0 到二分之 π 区间的定积分，就是高数里面非常经典的华里士公式，也叫 Wallis 公式，积分记作 Iₙ，也就是积分从 0 到 π/2 (cosx)ⁿ dx，这个公式分两种情况，n 是正偶数的时候，结果带二分之 π，n 是正奇数的时候，结果不带二分之 π，这个公式是分部积分递推推导出来的，是定积分高频考点，在概率论、伽马函数、三角函数积分化简里面经常使用，很多同学容易记混奇偶两种分支，也容易和 sin 的 n 次方华里士公式搞混，实际上在 0 到二分之 π 区间，sin 的 n 次方定积分和 cos 的 n 次方定积分结果是完全相等的，这是由换元 x 等于二分之 π 减 t 可以证明，这个公式只限定积分区间是 0 到二分之 π，如果积分区间改成 0 到 π、0 到 2π，不能直接套这个原始公式，需要利用对称性重新拆分计算，这点是考试最容易踩坑的地方。

之所以会有这个递推公式，是因为 (cosx)ⁿ直接积分很难写出原函数，通过分部积分建立 Iₙ和 Iₙ₋₂之间的递推关系，不断降次，一直降到 n 等于 0 或者 n 等于 1，最后算出结果，递推过程就是这个公式的核心原理，理解递推推导，就算临时忘记公式，也可以现场推出来。

核心华里士公式 区间 0 到 π/2

清单

1 n 为正偶数 n=2k

Iₙ = (n-1)/n × (n-3)/(n-2) × … × 1/2 × π/2

也就是 所有奇数相乘除以所有偶数相乘，最后乘以 π/2

2 n 为正奇数 n=2k+1

Iₙ = (n-1)/n × (n-3)/(n-2) × … × 2/3 × 1

也就是 所有奇数相乘除以所有偶数相乘，最后不乘 π/2

3 边界初值

I₀ = 积分 0 到 π/2 1 dx = π/2

I₁ = 积分 0 到 π/2 cosx dx = 1

递推推导步骤

清单

1 设 Iₙ = ∫₀^(π/2) (cosx)ⁿ dx

2 改写 (cosx)ⁿ = (cosx)^(n-1) × cosx

3 分部积分，令 u=(cosx)^(n-1)，dv=cosx dx

4 求 du = (n-1)(cosx)^(n-2)(-sinx) dx，v=sinx

5 代入分部积分公式 uv 上下限 减去 ∫v du

6 代入上下限之后第一项等于 0，化简得到递推式

Iₙ = (n-1)/n × Iₙ₋₂

7 反复套用递推，直到降到 I₀或者 I₁，就得到华里士公式

不同区间拓展对照表

补充重要结论

清单

1 在 0 到 π/2，∫cosⁿx dx = ∫sinⁿx dx，两个积分值相等

2 这个公式 n 必须是正整数，如果 n 不是整数，要用伽马函数形式表达，不能直接用华里士连乘公式

3 伽马函数通用形式 Iₙ = 二分之一 × Γ((n+1)/2)Γ(1/2) 除以 Γ((n+2)/2)，这个是 n 为任意实数的推广版本

高频易错点

第一个易错点，不分奇偶，全部都乘 π/2，奇数情况多乘 π/2 是最常见扣分错误

第二个易错点，区间不是 0 到 π/2，直接硬套华里士公式，没有利用对称拆分

第三个易错点，把 cosⁿx 和 (cosx)ⁿ理解不一样，cos 的 n 次方就是 (cosx)ⁿ，写法是同一个意思

第四个易错点，n 等于 0、n 等于 1 初值记错，I₀是 π/2，I₁是 1

【常见问题】

问题 1 cos 的 n 次方的定积分公式，为什么奇数和偶数结果不一样

回答 1 cos 的 n 次方的定积分公式来自递推 Iₙ=(n-1)/n Iₙ₋₂，cos 的 n 次方的定积分公式一直降次，偶数最后落到 I₀等于 π/2，奇数落到 I₁等于 1，所以 cos 的 n 次方的定积分公式奇偶分支不一样。

问题 2 cos 的 n 次方的定积分公式，0 到 π 区间可以直接套用吗

回答 1 cos 的 n 次方的定积分公式原版是 0 到 π/2 区间，cos 的 n 次方的定积分公式在 0 到 π 区间不能直接套，cos 的 n 次方的定积分公式需要利用对称性拆分，奇数积分结果为 0。

问题 3 cos 的 n 次方的定积分公式，和 sin 的 n 次方定积分相等吗

回答 1 cos 的 n 次方的定积分公式在 0 到 π/2 区间，cos 的 n 次方的定积分和 sin 的 n 次方定积分数值相等，cos 的 n 次方的定积分公式可以通过换元证明这个结论。

问题 4 cos 的 n 次方的定积分公式，n 不是整数还能用吗

回答 1 cos 的 n 次方的定积分公式华里士连乘形式只适用于正整数 n，cos 的 n 次方的定积分公式如果 n 是非整数，cos 的 n 次方的定积分公式需要改用伽马函数的通用表达。

【免责申明】

本文为高等数学定积分公式科普，属于国内高数教材通用 Wallis 公式，内容仅用于学习备考参考，正式答题请按照教材要求书写递推推导步骤。