【等比公式怎么计算】等比数列是数学中常见的一种数列，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为“公比”。在实际应用中，等比数列广泛用于金融、物理、计算机科学等领域。掌握等比数列的计算方法，有助于我们更高效地解决相关问题。
一、等比数列的基本概念
- 首项（a）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_2}{a_1} $。
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个数。
- 前n项和（Sₙ）：数列前n项的总和。
二、等比数列的公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a \cdot r^{n-1} $ | 用于计算数列中的任意一项 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 计算前n项的总和 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，数列无限延伸时的和 |
三、等比公式计算示例
假设有一个等比数列，首项为 $ a = 3 $，公比为 $ r = 2 $，求：
1. 第5项是多少？
2. 前5项的和是多少？
解：
1. 第5项：
$$
a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48
$$
2. 前5项和：
$$
S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 3 \cdot 31 = 93
$$
四、注意事项
- 若公比 $ r = 1 $，则数列为常数数列，此时前n项和为 $ S_n = a \cdot n $。
- 当公比 $
- 在实际应用中，如银行利息计算、病毒传播模型等，等比数列有着非常重要的作用。
通过以上内容可以看出，等比数列的计算虽然看似简单，但其背后的数学原理却十分严谨。掌握这些公式和应用场景，能够帮助我们在学习和工作中更加灵活地运用等比数列的知识。
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