【函数连续是什么意思】在数学中，函数的“连续”是一个非常基础且重要的概念，尤其在微积分和分析学中有着广泛的应用。简单来说，函数连续意味着它的图像没有断点或跳跃，可以“一笔画”完成。下面我们从定义、判断方法以及常见例子等方面进行总结。
一、函数连续的定义
一个函数 $ f(x) $ 在某一点 $ x = a $ 处连续，需要满足以下三个条件：
1. 函数在该点有定义：即 $ f(a) $ 存在；
2. 极限存在：即 $ \lim_{x \to a} f(x) $ 存在；
3. 极限值等于函数值：即 $ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $。
如果这三个条件都满足，则称函数在该点连续；否则，称为不连续或存在间断点。
二、函数连续的判断方法
| 判断方法 | 说明 |
| 定义法 | 根据连续的三个条件逐条验证 |
| 图像法 | 观察函数图像是否“无断点” |
| 极限法 | 计算左右极限，并与函数值比较 |
| 初等函数性质 | 基本初等函数在其定义域内是连续的 |
三、函数连续的例子与反例
| 函数 | 是否连续 | 说明 |
| $ f(x) = x^2 $ | 是 | 一切多项式函数在定义域内连续 |
| $ f(x) = \sin x $ | 是 | 三角函数在定义域内连续 |
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | 否（在 $ x=0 $ 处） | 在 $ x=0 $ 处无定义，不连续 |
x+1, & x < 0 \\
x-1, & x \geq 0
\end{cases} $
| $ f(x) = \sqrt{x} $ | 是（在 $ x \geq 0 $ 内） | 定义域内连续 |
