【微积分入门基本公式】微积分是数学中非常重要的一部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。对于初学者来说，掌握一些基本的微积分公式是非常有必要的。本文将总结微积分入门阶段的一些基本公式，并以表格的形式进行展示，帮助读者更好地理解和记忆。
一、导数的基本公式
导数是微积分的核心概念之一，用于描述函数的变化率。以下是常见的导数公式：
| 函数形式 | 导数公式 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、积分的基本公式
积分是微积分的另一重要部分，用于计算面积、体积等。以下是常见的不定积分公式：
| 被积函数 | 不定积分结果 | ||
| $ f(x) = c $（常数） | $ \int c \, dx = cx + C $ | ||
| $ f(x) = x^n $（n ≠ -1） | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
三、常用微分法则
在求导过程中，常常需要用到一些基本的法则来简化运算：
| 法则名称 | 公式 |
| 常数倍法则 | $ (cf)' = cf' $ |
| 加法法则 | $ (f + g)' = f' + g' $ |
| 乘积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
四、小结
微积分的基础知识虽然看似繁多，但只要掌握了这些基本的公式和法则，就能逐步建立起对微积分的整体理解。建议初学者在学习过程中注重练习，通过实际问题来加深对公式的应用能力。
希望这篇总结能为你提供清晰的思路和实用的知识点，帮助你更轻松地进入微积分的世界。
