【15.3分式方程的应用导学案】在学习“分式方程的应用”这一节内容时，我们不仅要掌握分式方程的解法，还要能够将这些数学知识应用到实际问题中去。通过本节课的学习，学生应能理解分式方程在现实中的意义，并能根据实际问题列出相应的方程并求解。
以下是本节内容的重点总结与典型例题解析：
一、知识点总结
| 知识点 | 内容说明 |
| 分式方程的定义 | 分母中含有未知数的方程称为分式方程。 |
| 解分式方程的一般步骤 | ① 找出最简公分母；② 两边同乘以最简公分母，转化为整式方程；③ 解整式方程；④ 检验根是否为原方程的增根。 |
| 应用分式方程的常见问题类型 | 行程问题、工程问题、工作分配问题、浓度问题等。 |
| 增根的概念 | 在解分式方程过程中，由于乘以了含有未知数的式子，可能会产生使原方程分母为零的根，这样的根称为增根，必须舍去。 |
二、典型例题解析
例题1：行程问题
甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲的速度是每小时6公里，乙的速度是每小时8公里，结果甲比乙多用了2小时。问A、B两地相距多少公里？
解题思路：
设A、B两地的距离为x公里，则甲用的时间为$\frac{x}{6}$小时，乙用的时间为$\frac{x}{8}$小时。根据题意，有：
$$
\frac{x}{6} - \frac{x}{8} = 2
$$
解方程：
$$
\frac{4x - 3x}{24} = 2 \Rightarrow \frac{x}{24} = 2 \Rightarrow x = 48
$$
答： A、B两地相距48公里。
例题2：工程问题
一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独完成需要15天。如果两人合作，几天可以完成这项工程？
解题思路：
设合作需x天完成，甲每天完成$\frac{1}{10}$，乙每天完成$\frac{1}{15}$，则有：
$$
\left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right) x = 1
$$
解方程：
$$
\frac{3 + 2}{30} x = 1 \Rightarrow \frac{5}{30} x = 1 \Rightarrow \frac{1}{6} x = 1 \Rightarrow x = 6
$$
答： 两人合作6天可以完成这项工程。
三、练习题（答案）
| 题号 | 问题 | 答案 |
| 1 | 一个水池有两个进水管，单独开甲管需要6小时注满，单独开乙管需要9小时注满。若两管同时开放，几小时可注满？ | 3.6小时 |
| 2 | 小明和小红一起做作业，小明每小时做12道题，小红每小时做15道题，他们一起做了4小时，共做了多少道题？ | 108道 |
| 3 | 一辆汽车从A地到B地，速度是60公里/小时，返回时速度是40公里/小时，往返共用时5小时。求A、B两地之间的距离。 | 120公里 |
通过以上内容的学习与练习，同学们可以更好地理解分式方程在实际生活中的应用，提升分析和解决问题的能力。建议在课后多做一些相关练习题，巩固所学知识。
