【一元二次方程式的共轭复根】在数学中，一元二次方程式是一类非常基础且重要的方程形式。其标准形式为：
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为实数。根据判别式 $ D = b^2 - 4ac $ 的不同值，方程的解可以是实数或复数。
当判别式 $ D < 0 $ 时，方程没有实数解，而是有两个共轭复根。这种情况下，方程的两个根互为共轭复数，即它们的实部相同，虚部互为相反数。
本文将对一元二次方程的共轭复根进行总结，并通过表格形式展示关键内容。
一、共轭复根的定义与性质
1. 共轭复根的定义
若一个复数为 $ z = p + qi $（其中 $ p, q \in \mathbb{R} $），则其共轭复数为 $ \overline{z} = p - qi $。若一元二次方程的系数均为实数，则其复根必为共轭复数。
2. 共轭复根的来源
当判别式 $ D = b^2 - 4ac < 0 $ 时，根号内的负数会引入虚数单位 $ i $，从而得到两个共轭复数解。
3. 根的表达式
根据求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
当 $ D < 0 $ 时，可表示为：
$$
x = \frac{-b}{2a} \pm \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}i
$$
即两个根分别为：
$$
x_1 = \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}i, \quad x_2 = \frac{-b}{2a} - \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}i
$$
二、共轭复根的性质总结
| 属性 | 描述 |
| 系数类型 | 方程系数均为实数 |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac < 0 $ |
| 根的形式 | 两个共轭复数：$ \alpha + \beta i $ 和 $ \alpha - \beta i $ |
| 实部 | 相同，为 $ -\frac{b}{2a} $ |
| 虚部 | 相反，为 $ \pm \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a} $ |
| 根的和 | $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ |
| 根的积 | $ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $ |
三、举例说明
以方程 $ x^2 + 2x + 5 = 0 $ 为例：
- 系数：$ a = 1 $, $ b = 2 $, $ c = 5 $
- 判别式：$ D = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 $
- 根为：
$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i
$$
所以，根为 $ -1 + 2i $ 和 $ -1 - 2i $，为共轭复根。
四、总结
一元二次方程的共轭复根是在判别式为负数时出现的一种特殊解。它们具有对称性，实部相同，虚部相反。这种性质在数学分析、物理建模以及工程计算中都有广泛应用。理解共轭复根的结构有助于更深入地掌握复数在代数中的应用。
