在数学和物理学中，向量是一种重要的工具，用于表示具有大小和方向的量。向量的运算包括加法、减法、数乘以及点积和叉积等。这些运算不仅在理论研究中有广泛应用，也是解决实际问题的关键。

首先，向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则。假设我们有两个向量a和b，它们的和可以表示为c = a + b。这个结果可以通过将两个向量首尾相接来获得，最终得到一个新的向量c，其起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。

其次，向量的减法也可以通过几何方法实现。给定两个向量a和b，它们的差d = a - b可以理解为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。这实际上相当于将b反向后与a相加。

再者，数乘运算则是将一个向量乘以一个标量k，得到的新向量ka的长度是原向量长度的|k|倍，而方向保持不变（如果k>0）或者相反（如果k<0）。

点积（dot product）是两个向量之间的一种代数运算，结果是一个标量。设向量a和b的点积为a·b，则有a·b = |a||b|cosθ，其中θ是两向量之间的夹角。点积的一个重要应用是用来判断两个向量是否垂直——当且仅当a·b=0时，两向量互相垂直。

最后，叉积（cross product）产生于三维空间中的两个向量间，结果仍是一个向量，且该向量垂直于原来的两个向量所在的平面。叉积的方向由右手定则决定，并且其模长等于这两个向量构成的平行四边形面积。

以上就是关于向量的基本运算公式介绍。熟练掌握这些概念对于进一步学习更复杂的数学理论和技术应用至关重要。