【一元二次方程怎么求最大值与最小值】在数学中，一元二次方程是形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。对于这样的方程，其对应的函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 是一个抛物线。根据二次项系数 $ a $ 的正负，抛物线的开口方向不同，从而决定了该函数是否有最大值或最小值。
要找到一元二次方程对应的函数的最大值或最小值，关键在于确定顶点的位置。顶点是抛物线的最高点（当 $ a < 0 $）或最低点（当 $ a > 0 $）。因此，掌握如何求出顶点坐标是解决这一问题的核心。
一、基本公式
对于函数 $ y = ax^2 + bx + c $，其顶点的横坐标为：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
将该值代入原函数，即可得到纵坐标（即最大值或最小值）：
$$
y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
也可以简化为：
$$
y = c - \frac{b^2}{4a}
$$
二、判断最大值或最小值的方法
| 条件 | 判断依据 | 结果 |
| $ a > 0 $ | 抛物线开口向上 | 函数有最小值 |
| $ a < 0 $ | 抛物线开口向下 | 函数有最大值 |
三、步骤总结
1. 确定二次函数的形式：确保表达式为标准形式 $ y = ax^2 + bx + c $。
2. 计算顶点的横坐标：使用公式 $ x = -\frac{b}{2a} $。
3. 代入求纵坐标：将 $ x $ 值代入原函数，计算 $ y $ 的值。
4. 判断最大值或最小值：根据 $ a $ 的符号决定是最大值还是最小值。
四、示例分析
| 二次函数 | 顶点横坐标 | 顶点纵坐标 | 最大值/最小值 | 说明 |
| $ y = 2x^2 + 4x + 1 $ | $ -1 $ | $ -1 $ | 最小值 | 开口向上 |
| $ y = -3x^2 + 6x - 2 $ | $ 1 $ | $ 1 $ | 最大值 | 开口向下 |
| $ y = x^2 - 8x + 15 $ | $ 4 $ | $ -1 $ | 最小值 | 开口向上 |
通过以上方法，我们可以快速准确地找到一元二次函数的最大值或最小值，这对于解决实际问题（如优化问题、物理运动分析等）非常有帮助。掌握这些技巧后，能够更高效地处理相关数学题目。
