在数学领域中，三角函数是一个非常重要的部分，而特殊角度的三角函数值则是其中的常考点。今天，我们就来探讨一下tan75°的具体数值及其推导过程。

首先，我们需要了解tan函数的基本定义：正切函数（tangent function）是直角三角形中对边与邻边之比，即tanθ = 对边/邻边。当我们面对非标准角度时，通常需要通过已知的角度和公式来进行计算。

对于tan75°这个特定的角度，我们可以利用已知的特殊角度（如30°、45°、60°等）以及相关的加法公式来进行求解。具体来说，75°可以表示为两个特殊角度的和，即75°=45°+30°。根据三角函数的加法公式：

\[ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B} \]

将A设为45°，B设为30°，我们知道：

\[ \tan 45° = 1 \]

\[ \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

代入上述公式：

\[ \tan 75° = \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \cdot \tan 30°} \]

\[ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \]

\[ = \frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}} \]

\[ = \frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \]

为了简化这个表达式，我们可以通过有理化分母的方法进一步处理：

\[ = \frac{(3+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})} \]

\[ = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} \]

\[ = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} \]

\[ = 2 + \sqrt{3} \]

因此，tan75°的精确值为\( 2 + \sqrt{3} \)。

总结来说，通过对已知特殊角度的组合运用以及三角函数的加法公式，我们成功地计算出了tan75°的具体数值。这种类型的题目不仅帮助我们巩固了基础的数学知识，同时也锻炼了我们的逻辑推理能力。希望本文对你理解这一知识点有所帮助！